Thursday, January 12, 2006

கணக்கு பண்ணலாம் வாங்க

ஐயையோ...இது Mathematics பத்தி. வேறெதுவும் இல்ல...

"ஆங்கிலமோ அவதி
தமிழோ தடுமாற்றம்
கணக்கோ கஷ்டம்"

நம் பால்ய வயதில், பள்ளிக்கூடத்திற்கு போகும் வயதில் இப்படி நாம் நிறைய பாடியிருப்போம். அதுவும் முக்கியமாக கணிதம். கணிதம் என்றாலே நம்மில் பலருக்கு வேம்பாகக் கசக்கும். ஆனால், பத்தாவது மற்றும் +2வில் கணக்குப் புலிகள் ஏராளம் தான்.

கணக்குப் பாடத்திற்கு முக்கியமாகத் தேவை தர்க்கம் (logic) மட்டுமே. இயற்பியல், வேதியியல் போல இங்கு practical exams தேவையில்லை. உதாரணமாக, எரியப்படும் எந்த ஒரு பொருளும் பரவளையமாகத்தான் (Parabolic) செல்லும். இந்த கூற்றை நிரூபிக்க இயற்பியலில், நாம் செய்முறையில் பார்த்துத் தான் நிரூபிக்க முடியும். ஆனால், இதை நான் கல்லூரியில் கணிதம் படிக்கும் பொழுது, Dynamics பாடத்தில், ஒரு தேற்றமாக (theorem) படித்தேன். அந்த தேற்றம் "The path of the projectile is a parabola". அந்த தேற்றத்தை, என் ஆசிரியர் அழகாக நிரூபணம் செய்தார். அதனாலேயே அதை "புரிந்து" பரிட்சையில் பத்து மதிப்பெண்கள் பெற்றேன். X2 = 4 a y என்பது "U" வடிவில் மேல்நோக்கி இருக்கும் பரவளையத்தின் சமந்தொடர் (equation). X2 = - 4 a y என்பது கீழ்நோக்கி இருக்கும் பரவளையத்தின் சமந்தொடர் (equation). அந்த தேற்றம் கடைசியில் நாம் எறியும் பொருளின் பாதை X2 = - 4 a y ஆகத் தான் இருக்கும் என்று நிரூபணம் செய்யப்பட்டிருக்கும். இந்த தேற்றத்தை என் ஆசிரியர் பல முறை, கட்டையால் ஆன ஒரு duster-ஐ எங்கள் மேல் project செய்து நிரூபித்தது உள்ளார் என்பது மறுக்க முடியாத உண்மை.

ஒரு பொருளை எறியும் பொழுது அது வளைவாகத்தான் செல்லும் என்பது எல்லோருக்கும் தெரியும் தானே? அப்புறம் அதற்கு எதற்கு ஒரு நிரூபணம் தேவைப்பட்டது என்று நான் எண்ணியதுண்டு. அதுவும், இளநிலை கணிதம் படிக்கும் பொழுது, நாம் எதற்காக சம்பந்தமே இல்லாமல் "The path of the projectile is a parabola"-வை நிரூபணம் செய்யச் சொல்லுகிறார்கள் என்று ஒரே எரிச்சல் வேறு. அதன் காரணம் நான் முதுநிலை கணிதம் (later discontinued) சென்றபிறகு தான் தெரிந்தது. அதில், ஒரு பாடத்தில் ஒரு தேற்றம். அந்த தேற்றம் நினைவில்லை. ஆனால் அந்த தேற்றம் எதனைப் பற்றியது என்று மட்டும் நினைவு. அது, ஒரு ஊசல் (pendulum) அதன் நீளத்தைப் பொருத்து ஒரு பொருளின் அலைவு நேரம் கணக்கிடும் தேற்றம். இதை இயற்பியலில் practical-ஆக கண்டுபிடிக்க முடியாது. ஒரு ஊசல் நிற்க மாதக்கணக்கில், ஏன் வருடக்கணக்கில் கூட ஆகலாம். இம்மாதிரியானவற்றை செய்முறையில் பார்ப்பது கடினம். இந்த தேற்றம் முடிவில் ஊசலின் நேரத்தை கணக்கிடும் சமந்தொடரை தருவிக்கும். அப்படி தருவிக்கும் பொழுது நடுவில் ஒரு கட்டத்தில் இருந்து இன்னொரு கட்டத்திற்கு தாவ "W.K.T the path of the projectile is a parabola..." என்று கூறி பரவளையத்தின் சமந்தொடரை இட்டு தொடருவோம். அப்பொழுது தான் நாம் இளநிலையில் படித்தவை எல்லாம் அரிச்சுவடிகள் என்று எனக்கு விளங்கிற்று. (W.K.T - We Know That).

இந்த ஒரு தேற்றமே இப்படி உபயோகப்படுகிறது என்றால், மற்றவை...இப்பொழுது ஒவ்வொரு தேற்றம், மற்றும் lemma-க்களை அசைப்போட்டுக் கொண்டிருக்கிறேன்.

கணிதத்தில் Real Analysis என்று ஒரு பாடம் உண்டு. அதன் நிரூபண முறை அலாதியானது. உதாரணமாக, "The numbers between [0, 1] is uncountable" என்பது அந்த பாடத்தின் தொடக்கத்தில் வரும் ஒரு தேற்றம். அதாவது, 0-க்கும் 1-க்கும் இடையில் உள்ள எண்களின் எண்ணிக்கை கணக்கில் அடங்காதது என்பது. இதில், "[" மற்றும் "]" என்பது, இந்த எண்களின் கூட்டத்தில் 0 மற்றும் 1 ஆகியவையும் அடங்கும் என்று கூறுகிறது. இந்த தேற்றமும் நேரடியானது. அதாவது, 0 மற்றும் 1 ஆகிய எண்களுக்கு இடையில் வரும் தசம எண்கள் எண்ணிக்கையில் அடங்காதது என்பது நமக்குத் தெரிந்த ஒன்று. 0-க்கும் 1-க்கும் இடையில் உள்ள எண்கள் 0.1, 0.2, ..., 1.0 மொத்தம் பத்து தானே. ஆனால் இன்னும் சற்று உள்ளே சென்றால் 0.1, 0.11, 0.12, ..., 0.2, 0.21, 0.22, ..., 0.3, ..., ..., 1.0. (உஸ் அப்பா...இப்பொவே கண்ண கட்டுதே...) இதை கணிதவியல் மூலமாக நிரூபணம் செய்துவிட்டால் பிறகு சுலபமாக இந்த கூற்றை மற்ற நிரூபணத்திற்கு உபயோகப்படுத்திக் கொள்ளலாம். (ஹும்...இந்த கூற்று எந்த பெரிய தேற்றத்தின் நிரூபணத்தின் உயிரை எடுக்கிறதோ?). இந்த தேற்றத்தை நிரூபிப்பதற்கு, இதன் நேர்மறையான கூற்றை எடுத்துக் கொண்டு, அந்த கூற்றை பொய் என்று நிரூபித்து, முடிவில், முதலில் சொல்லப்பட்ட கூற்று உண்மை என்று நிரூபிக்கும் முறை. அதாவது, 0-க்கும் 1-க்கும் இடையில் உள்ள எண்களின் எண்ணிக்கை கணக்கில் அடங்கும் என்று suppose-சித்துக் கொண்டு, பின் இந்த கூற்றி பொய் என்று நிரூபிப்பர். அதனால், 0-க்கும் 1-க்கும் இடையில் உள்ள எண்களின் எண்ணிக்கை கணக்கில் அடங்காதது என்று முடிவில் ஒத்துக்கொள்வர். இப்படி நிரூப்பிபது ஒரு வகை.

அப்புறம் induction என்னும் முறை மூலமாக...'டங்'...'டடாங்'..."யம்மா..."(யாரோ என் மண்டையில் அடித்த சத்தம் + என் கத்தல்)

3 comments:

  1. //ஹும்...இந்த கூற்று எந்த பெரிய தேற்றத்தின் நிரூபணத்தின் உயிரை எடுக்கிறதோ?).//

    :)))))

    ம்ம் exam fear இல்லாம படிச்சா கணிதம் நல்லாத்தான் இருக்கு. நம்ப நாட்டுல ஆசிரியர், பாடத் திட்டம் ரெண்டுலயுமே இல்லாதது ஒரு friendly atmosphere.

    ReplyDelete
  2. //இந்த தேற்றத்தை என் ஆசிரியர் பல முறை, கட்டையால் ஆன ஒரு duster-ஐ எங்கள் மேல் project செய்து நிரூபித்தது உள்ளார் என்பது மறுக்க முடியாத உண்மை//

    நீங்க தூங்கிட்டிருப்பிங்களோ அதான் எழுப்ப அடிக்கடி duster தூது விட்டிருக்காங்க.

    கணிதம் ஒரு அற்புதம்ங்க.

    நானும் கணிதம் படிச்சவதான்.

    டைனமிக்ஸ், ரியல் அனாலிசிஸ், ஆபரேஷன் ரிசர்ச்... எல்லாமே ரொம்ப நல்லா இருக்கும். ஒரு ப்ராப்ளம் solve செய்ததும் வரும் ஒரு நிம்மதி இருக்கே அடடா.. அதுவும் நாம முதல்ல்ல முடிச்சிட்டு அடுத்தவங்களை பார்க்கும் ஒரு பார்வை இருக்கே.. அது சுகம்.

    இன்னும் ஒரு முறை படிக்கலாம்னு கூட எனக்கு ஆசையா இருக்கு. ரியல் அனாலிசிஸ் அருமையான பாடம். நமக்கு எல்லாம் தெரிஞ்சதுதானேன்னு நினைக்கும் ஒரு சின்ன விஷயத்துக்கு கூட கணிதமுறைப்படி ஒரு proof இருக்கு. ம்ம்ம்

    சரி உங்க தலை என்னாச்சு போய் பாருங்க. (நான் அடிக்கலைப்பா ;) )

    அன்புடன்
    கீதா

    ReplyDelete
  3. கீதா,

    இளநிலையில் சேரும்பொழுது, வேறு வழி இல்லாமல் தான் சேர்ந்தேன் (+2 மதிபெண்கள்!!!). ஆனால், சேர்ந்து படிக்கும்பொழுது தான் அதன் அருமை புரிந்தது. அது முழுமையாக புரிந்தது எப்பொழுது என்றால், முது நிலை கணிதன் discontinue செய்து, MCA சேர்ந்த பொன்பு. ஹும்ம்ம்...கண் கெட்ட பிறகு சூரிய நமச்காரம்!!!

    சீனு.

    ReplyDelete